La PARADOJA del CUMPLEAÑOS / Calcula la PROBABILIDAD del SISMO: 19 de septiembre

Hola, el video de esta semana está dividido en dos partes, En este video de acá te platico entre otras cosas sobre las fechas de mayor ocurrencia histórica de terremotos en México y en este video en el que estamos, te voy a hablar de probabilidad… 

Sí, yo sé que llegué tarde al tema y que ya varias veces has escuchado hablar de la “paradoja del cumpleaños” para explicar que en realidad no es baja la probabilidad de ocurrencia en una misma fecha de dos eventos no relacionados… pero muy probablemente por cuestiones de tiempo, la mayoría de los divulgadores que han utilizado este argumento no lo han explicado… casi de seguro ya escuchaste que si tienes un grupo de 23 estudiantes en un salón de clases, la probabilidad de que coincidan dos en su día de cumpleaños es casi 50%, pero para no dejarte con duda o caer en el acto de fé…aquí va la explicación con numeritos…

Lo primero es ubicar que la expresión que utilizamos para la probabilidad de un evento, por ejemplo que salga cara cuando lanzas una moneda es una fracción, en la que dividimos “casos favorables” entre “casos posibles”.

Para la moneda, hay una “cara” que es el caso favorable que me interesa, y hay dos casos posibles, porque hay “cara” y hay “cruz”

Ahora, para el caso de los cumpleaños… la pregunta es cuál es la probabilidad de que 2 personas en un grupo coincidan en el día… eso en realidad es más difícil de formular y explicar que el caso opuesto: la probabilidad de que nadie coincida…así que vamos a calcular esta última, y como son preguntas opuestas, las probabilidades son complementos a 100 %, o sea, si a 100 le restas la probabilidad de que el cumpleaños de dos personas NO coincida, obtienes el opuesto: la probabilidad de que 2 personas en un grupo SÍ coincidan en el día de cumpleaños.

Comenzamos con un solo individuo, que obviamente cumple años 1 día, de los 365… dijimos que usaríamos la expresión “casos favorables” entre “casos posibles»… para hacer todavía más clara la idea, imagina que el cumpleaños se le ASIGNARA aleatoriamente… tienes un tazón con papelitos, cada papelito tiene un día del año, y esta primera persona va a sacar al azar un papelito y ese será el día de nacimiento que se le asignará totalmente aleatorio.

La probabilidad de que ese número que saque este primer individuo no se repita es de 365, que es el número de casos favorables… o sea, saque lo que saque, es un caso favorable porque no hay nadie más con quien comparar… así que los 365 papelitos son “favorables”… y el número de casos posibles, es el total, que son, otra vez, 365… 365/365 = 1, si lo multiplicamos por 100 lo convertimos en probabilidad y significa que hay un 100% de probabilidad de que no haya repetición en la fecha con nadie más. Lo cual tiene perfecto sentido porque hablamos de una sola persona. Y el complemento… 100 menos el resultado, que también es 100 es cero… o sea, hay cero probabilidad de que si tenemos UNA SOLA PERSONA, haya 2 coincidencias… lo cual, también es lógico.

Luego agregamos un individuo 2… como estamos calculando la NO repetición, la primera persona que sacó un papelito NO lo regresó al tazón… para que NO se pueda repetir, entonces los casos favorables o papelitos posibles son 364… el total de casos posibles que se podrían elegir desde el inicio del juego son los 365 días del año…

pero como ahora tenemos dos personas, la probabilidad combinada de estas dos personas implica multiplicar sus fracciones

365/365*364/365=0.9973

el resultado obtenido lo multiplicamos por 100 para convertirlo en porcentaje y es un 99.73%, como quiero saber la probabilidad complementaria, que SÍ coincidan, entonces a 100% le resto 99.73% que es un 0.27%

Agrego una tercera persona… ninguna de las personas previas regresó su papelito, por lo que la 3a persona ue ahora podría elegir entre 363 papelitos o fechas… de un total de 365 y la probabilidad conjunta ahora es la multiplicación de las tres fracciones que llevamos

365/365*364/365*363/365=0.9918

este número lo multiplicamos por 100 para convertirlo en porcentaje y da 99.18%, como quiero saber la probabilidad complementaria, que SÍ coincidan, entonces a 100% le resto 99.18% que es un 0.82%

Y así seguimos y seguimos hasta llegar a 23 personas, que es el número que citan una y otra vez con esta paradoja… al llegar a la persona 23 tenemos esta última fracción

365/365*364/365*363/365*…*343/365

Como te imaginarás, hacer esta sucesión de operaciones se vuelve tedioso rápidamente. Debe haber maneras más rápidas de calcularlo…

El numerador quizás te recuerde al factorial de 365

aunque claro, el factorial sería 365 * 364 * 363 * 362 y así hasta llegar al 1… en nuestro caso, no tenemos un factorial completo, debería llegar hasta 343… así que de laguna manera necesitamos poder quitar las operaciones que sobran… para poder hacer esto, dividimos el 365! entre las multiplicaciones que queremos quitar, del 342 en adelante porque si desglosamos ese 342!… estaríamos dividiendo 342 / 342, 341 /341 y así sucesivamente, lo cual en efecto elimina esos términos que nos estorbaban…

365!/342! = (365)(364)(363)…(342)(341)(340)…

                                  (342)(341)(340)

Ahora pasamos al denominador… notarás que hay que multiplicar el 365 por sí mismo el número de personas que tenemos en el grupo, que en este caso es 23, asi que terminamos con esta expresión:

365!/342!*1/365^23

cuyo resultado es 0.4927, lo multiplicamos por 100 para convertirlo en porcentaje y da: 49.27%, y como queremos saber la probabilidad complementaria… a 100% le resto este 49.27% y entonces para un grupo con 23 personas, el hecho de que 2 de ellas coincidan en el día elegido es 50.73%

Ahora, como te decía en este otro video sobre los terremotos del 19 de septiembre… si el número de eventos que tenemos es 305. Siguiendo exactamente la misma lógica, la probabilidad de NO coincidencia en fecha se calcula con esta otra expresión:

365!/60! *1/365^305 = 9.56 x 10^-86

Como este número es CASI cero, entonces el complemento es prácticamente 100%

Oye, pero es que el 19 de septiembre.. ¡es que van 3 veces, no 2!

Para no hacer demasiado largo el video… para el caso de 3 eventos en un mismo día, te recomiendo ver la explicación en este blog cuyo enlace encontrarás en mis referencias, en mi blog.

El autor, Suraj Regmi sí se va por la opción de calcular desde un principio la probabilidad de la coincidencia, por eso notarás en sus expresiones que al número 1 le resta las fracciones de probabilidad y en lugar de hacer todo el desarrollo de los factoriales, utiliza la versión abreviada que es la combinatoria.

Para nuestros números, que trajimos de este otro video, considerando 86 sismos de más de 7 en escala Richter y coincidencia de 3 en una misma fecha y multiplicando por 100 para que sea porcentaje, tenemos 53.61% que tampoco es una probabilidad tan baja.

Ahora que entiendes mejor el asunto de la probabilidad y si aún no lo has visto, te invito al video en el que revisamos cuáles son las fechas que en realidad tienen más ocurrencia de terremotos históricamente en México y por qué SÍ es importante seguir haciendo simulacros de evacuación..

Referencia

Regmi, S. (2021, 7 diciembre). Birthday Triplets, Common Birthdays and Poisson Distribution. Recuperado 2 de octubre de 2022, de https://surajregmi.medium.com/birthday-triplets-common-birthdays-and-poisson-distribution-14debf1626b8